ラグビーシステム　座標変換

2.応用編

２：座標変換
（ａ）オイラーの回転軸
任意の基準座標系をＡ，ある剛体に固定された座標系をＢとする。
ＡとＢの両者に固定されたある軸のまわりにＢを回転させることで，剛体を任意の姿勢に変更できる。
逆に言うと，回転前後の姿勢が与えられたとするとき，これを関連付ける回転軸が唯一定まる。　これをオイラー軸と呼び，またこのような定理を回転に関するオイラーの定理という。

Ａに固定された任意のベクトルをａ，　Ｂを回転させる前の状態においてａと一致し，Ｂに固定されたベクトルをｂ，オイラーの回転軸をλ，その軸のまわりの回転角をθとするとき，
次の式が成り立つ。
　　ｂ＝ａcosθ－ａ×λsinθ＋ａ・λλ（１－cosθ）　　　　　　　　　　　　（２．１）
また，回転ダイアディック
　　Ｃ＝Ｕ_３３cosθ－Ｕ_３３×λsinθ＋λλ（１－cosθ）　　　　　　　　　　（２．２）
を定義すれば，　（２．１）式は次のように書き換えられる。
　　ｂ＝ａ・Ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２．３）
導出：
Ａ系に固定されたベクトルα_１，α_２を考え，λと組で　｛α_１　α_２　λ｝が正規直交基底をなすものとする。
Ｂ系に固定されたベクトルβ_１，β_２を考え，λと組で　｛β_１　β_２　λ｝が正規直交基底をなすものとする。ただし，Ｂ系を回転させる前の状態において，β_１，β_２　は，それぞれα_１，α_２と一致するものとする。　すなわち，θ＝０において，あるスカラー量ｐ_１，ｐ_２，ｐ_３を用いて，
　　　ａ　＝　ｐ_１α_１＋ｐ_２α_２＋ｐ_３λ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２．４）
　　ｂ　＝　ｐ_１β_１＋ｐ_２β_２＋ｐ_３λ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２．５）
が成り立つ。一方　回転後のβ_１，β_２は，α_１，α_２の線形結合として

β_１　＝　cosθα_１＋cos（θ－π/２）α_２＝　cosθα_１＋sinθα_２　　　　（２．６）
β_２　＝　cos（θ＋π/２）α_１＋cosθα_２＝－sinθα_１＋cosθα_２　　　（２．７）
として書き表される。　従って，
　ｂ　＝　ｐ_１(cosθα_１＋sinθα_２)＋ｐ_２(－sinθα_１＋cosθα_２)＋ｐ_３λ　
　　　　= （ｐ_１cosθ－ｐ_２sinθ）α_１＋（ｐ_１sinθ＋ｐ_２cosθ）α_２＋ｐ_３λ　　（２．８）
また，は次のように展開できる。
　ａ・Ｃ　＝　ａcosθ－ａ×λsinθ＋ａ・λλ（１－cosθ）
　　　　　＝（ｐ_１α_１＋ｐ_２α_２＋ｐ_３λ）cosθ－（ｐ_１α_１＋ｐ_２α_２＋ｐ_３λ）×λsinθ
　　　　　＋（ｐ_１α_１＋ｐ_２α_２＋ｐ_３λ）・λλ（１－cosθ）
　＝ｐ_１cosθα_１_＋ｐ_２cosθα_２＋ｐ_３cosθλ＋ｐ_１sinθα_{_２}－ｐ_２sinθα_１＋ｐ_３λ－ｐ_３cosθλ　
　＝（ｐ_１cosθ－ｐ_２sinθ）α_１＋（ｐ_１sinθ＋ｐ_２cosθ）α_２＋ｐ_３λ　　（２．９）　
従って，
　　ｂ　=　ａ・Ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２．１０）

（ｂ）方向余弦行列
任意の２つの正規直交座標ベクトルを｛ａ｝^Ｔ＝｛ａ_１　ａ_２　ａ_３｝，｛ｂ｝^Ｔ＝｛ｂ_１　ｂ_２　ｂ_３｝とするとき，方向余弦と呼ばれる９つのスカラー量は
　　　　　　　　　　Ｃ_ｉｊ＝ａ_ｉ・ｂ_ｊ　　　　（ｉ，ｊ＝１，２，３）　　　　　　　　　　　　　　（２．１１）
により定義する。　このとき，
　　　　　　｛ｂ｝^Ｔ　＝　｛ａ｝^Ｔ　^ＡＣ^Ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２．１２）
　　　　　　｛ａ｝^Ｔ　＝　｛ｂ｝^Ｔ　（^ＡＣ^Ｂ）^Ｔ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２．１３）
が成り立つ。　ただし

これを，｛ｂ｝から｛ａ｝への方向余弦行列あるいは座標変換行列という。
方向余弦行列の性質として，以下のようなものがある。
　　　　　Ｃ^－１　＝　Ｃ^Ｔ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２．１５）
　　　　　ＣＣ^Ｔ　＝　Ｃ^ＴＣ　＝　Ｕ_３３　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２．１６）
　　　　（^BＣ^A）^－１　＝　（^BＣ^A）^Ｔ　　　＝　　^ＡＣ^Ｂ　　　　　　　　　　　　　　（２．１７）
方向余弦行列により，異なる基底ベクトルに対する座標成分の変換が行われる。例えば，任意のベクトルｒの｛ａ｝系での座標を　^Ａｒ　＝　［^Ａｒ_１　^Ａｒ_２　^Ａｒ_３］^Ｔ　（^Ａｒ_i　＝　ｒ・ａ_i （ｉ＝１，２，３）），｛ｂ｝系での座標を　^Ｂｒ　＝　［^Ｂｒ_１　^Ｂｒ_２　^Ｂｒ_３］^Ｔ　（^Ｂｒ_i　＝　ｒ・ａ_i （ｉ＝１，２，３））とすれば，
　　　　　^Ｂｒ　＝　　^Ａｒ　^ＡＣ^Ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２．１８）
が成り立つ。
同様に，任意のダイアディックＤの｛ａ｝系に対応する正方行列を
　　　　　^ＡＤ　（^ＡＤ_ｉｊ　＝　ａ_ｉ・Ｄ・ａ_ｊ　　　　　　　（ｉ，ｊ＝１，２，３），
｛ｂ｝系に対する正方行列を
　　　　　^ＢＤ　（^ＡＤ_ｉｊ　＝　ｂ_ｉ・Ｄ・ｂ_ｊ　　　　　　　（ｉ，ｊ＝１，２，３），とすれば，
　　　　　^ＢＤ　＝　（^ＡＣ^Ｂ）Ｔ ^ＡＤ ^ＡＣ^Ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２．１９）
が成り立つ。
Ａ系からＢ系への方向余弦行列を ^ＡＣ^Ｂ　，Ａ系からＢ’系への方向余弦行列を ^ＡＣ^Ｂ’ ，Ｂ’系からＢ系への方向余弦行列を ^Ｂ’Ｃ^Ｂとするとき，次式が成り立つ。
　　　　　^ＡＣ^Ｂ　＝　^ＡＣ^Ｂ’　^Ｂ’Ｃ^Ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２．２０）

例　グランドに固定されたグランド座標系をＡとする。　移動するラグビーセンサのセンサシステム上のセンサー座標をＢとする。
このとき，Ｂ上で計算された任意のベクトルｂ　（例：加速度ａおよび角速度ω）は，Ａ座標系上のベクトルａとの関係式として次のように表される。
　　　ｂ_ｉ　=　ａ_ｉ・Ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ｉ＝１，２，３）　ａ＝（ａ_１，ａ_２，ａ_３）
　　Ｃ_ｉｊ＝ａ_ｉ・ｂ_ｊ　＝　ａ_ｉ　・（ａ_j・Ｃ）　　　　　　　　　（ｉ，ｊ＝１，２，３）

　　Ｃ_ｉｊ＝ａ_ｉ・（ａ_ｊ cosθ－ａ_ｊ×λsinθ＋λλ・ａ_ｊ（１－cosθ））
　　　　　＝ａ_ｉ・ａ_ｊcosθ－ａ_ｉ・（ａ_ｊ×λ）sinθ＋ａ_ｉ・λλ・ａ_ｊ（１－cosθ））

　　　λ_ｉ　＝　λ・ａ_ｉ　＝　λ・ｂ_ｉ　　　　　　　　　　　　　　（ｉ＝１，２，３）

　　　Ｃ_１１＝　　　cosθ＋　λ_１^２（１－cosθ）
　　　Ｃ_１２＝－λ_３sinθ＋λ_１λ_２（１－cosθ）
　　　Ｃ_１３＝　 λ_２sinθ＋λ_１λ_３（１－cosθ）
　　　Ｃ_２１＝　λ_３sinθ＋λ_２λ_１（１－cosθ）
　　　Ｃ_２２＝　　　 cosθ＋　 λ_２^２（１－cosθ）
　　　Ｃ_２３＝－λ_１sinθ＋λ_２λ_３（１－cosθ）
　　　Ｃ_３１＝－λ_２sinθ＋λ_３λ_１（１－cosθ）
　　　Ｃ_３２＝　λ_１sinθ＋λ_３λ_２（１－cosθ）
　　　Ｃ_３３＝　　　cosθ＋　λ_３^２（１－cosθ）

λがａｉ　（ｉ＝１，２，３）と平行，すなわち，ｂｉとも平行のとき，λ＝ａｉ＝ｂｉまわりの回転を表す方向余弦行列Ｃｉ（θ）は次のようになる。

以上の数学的手段を利用して、実際のセンサが計測する座標系から，グランド座標への変換を考える。